Читая Чехова. И решая

Помните, в  рассказе "Репетитор" студент Зиберов замешкался с решением задачи для второго класса: "да тут алгебра нужна...!, однако, отец подопечного быстро нашел правильный ответ на счетах: "И безо всякой вашей алгебры!"
Как вы полагаете, «Что хотел сказать автор этим произведением» ?

Продвинутые любители «занимательной арифметики» приведут пример лихозакрученного решения «без уравнений»:
— значит автор иронизирует над незадачливым студентом, спасовавшим пред затейливым способом подсчета?

Тогда как поклонники Чехова засомневаются, что автор был приверженцем арифметических изысков, припомнив «Задачи сумасшедшего математика», полные стёба:
                             «Автолимед родился в 223 году, а умер после того, как прожил 84 года. Половину жизни провел он в путешествиях, треть жизни потратил на  удовольствия. Был ли женат Автолимед?»

Сабж:
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб.?

Продолжая тему предыдущего поста, смело введем две переменные, не смущаясь последующей системой уравнений (как мы выяснили, так гораздо проще и решать и объяснять.)

То, что спрашивается в задаче —  то и "неизвестные", по традиции обозначаемые буквами Х и Y.

У нас получится два неизвестных: Х метров синего (по 5р) и Y метров черного (по 3р), всего 138

Х + Y = 138 метров.
Представили уравнение "на весах"? Продолжаем методом исключения:

— Куда деть одну из переменных ?

— Элементарно: Y — это всё, что не Х.

— Нужно убрать Х c левой чаши и "отрезать" от 138-ми справа    
Останется Y = 138 - Х

Итого купили  синей ткани Х метров, а черной - остаток от 138м : (138 - Х) метров и заплатили за все 540р. 

 Х·5 + (138 - Х)·3 = 540 рублей. Дальше дело техники.

—  А всё-таки,  можно без алгебры обойтись, "просто на словах" ход решения изложить?  
—  Можно, но не проще, а наоборот, гораздо более путанно без привычки:

Есть 138 метров сукна — столько-то метров из них стоят по 5 руб за метр. А остальные — по 3 руб за метр.  
Пять раз по столько,  за вычетом три раза по столько же — остается два раза по столько; да еще 138 метров по 3 рубля:
следовательно два раза по столько равносильно 540 без утроенного 138, сочтем и разделим пополам.
Раз-раз и на счетах.

В принципе тоже самое, 2x=540-138·3,
только вместо Х —  "столько, столько же".


Чехов не приводит решения, наверное на тот момент оно казалось элементарным. 

В былые времена, судя по старинным формулировкам задач-загадок, считали как раз в подобном духе: "летел гусь, да пол-гуся, да еще два раз по столько же гуся, сколько будет если от целого гуся отнять четверть гуся..."

Алгебра - это не магия, это всего лишь вспомогательные обозначения, чтоб мозги не сворачивались в трубочку от нанизанных друг на друга "три раз по столько за вычетом полстолько"; запись с переменными ввели для удобства и далеко не сразу.  

Чеховскую задачу часто вставляют в различные «сборники-развивашки».

Но повсюду, вместо того чтобы элегантно перевести формулы на язык смыслов "для самых маленьких", предлагают в качестве "оригинального, блестящего" решения совершенно искусственный трюк, с головоломными допущениями:  

Было у купца 540 рублей.
Допустим, для начала он приценился к синему сукну.

 540:5=108  — денег ему хватило бы на 108 метров, по 5 р. каждый.

 А тут подвезли черное, "но по 3". Дай-ка еще и этого прикуплю!
В итоге он приобрел 138 метров того и другого (не выходя из бюджета 540р).

 — Где денег взял?
—  От нескольких пятирублевок, предназначенных на покупку синей ткани, отобрал по два рубля.

—  Сколько раз отобрал?
—  На тридцать метров по 3р нужно девяносто рублей.
Значит 45 раз отобрал по 2 рубля. 

 — А что с теми метрами,  на которые по 3р осталось?
—  Их тоже пришлось заменить на метры более дешевого сукна.

 Итого 30 метров дополнительных, да 45 метров дорогого сукна, замененных на дешевое = 75 метров черного сукна. Остальное синее.

А можно начать по-другому,  напр, с "допустим, купил всё по 3 руб" или "допустим, заплатил за все 138 м по 5" и такими же окольными методами, через излишки/издержки вычислять искомое.  

Что лишний раз показывает, какой непреодолимой кажется нашему современнику, даже продвинутому "популяризатору", пропасть между алгеброй и арифметикой :  или решаем "с иксами",  а уж если на счетах —  то только левой ногой через правое ухо.