fotovivo

Математика на ходу

Лужа, как учебное пособие

Шли из школы по дороге, встретили лужицу. 

Лужа — вещь полезная, в ней столько всего отражается! Всегда найдется о чем поговорить с любопытным почемучкой :) От полу-шуточного вопроса: «Почему зеркальная поверхность меняет правую сторону с левой, а не верх с низом?» для внука-старшеклассника, до малышового «угол падения равен углу отражения». Натуральное учебное пособие на любой возраст!
Нам с первоклашкой пока  ближе малышовая тема:
походим вокруг лужи, понаблюдаем, с одной стороны посмотришь —  одна картинка, с другой — другая. («А что отражается в луже, когда в нее никто не смотрит?» - есть о чем пофилософствовать =)

Как поймать в лужу солнышко?
Солнце в наших краях поднимается высоко над головой, а отражение оказывается почти под ногами:

Чтобы друг на друга посмотреть через лужу — придется стать один напротив другого, на разных «берегах».
— Это как в мячик играть с отскоком от земли, нужно прямо перед собой бросать, иначе улетит куда-то в сторону, не поймаешь!

Когда ты кого-то видишь, значит и он тебя видит (или увидит, повернувшись лицом).  — А можно ли такое выбрать место, что бы ты чье-то лицо видел в отражении, а он при этом твое нет? Проверим?
— Так не получается!

Пропедевтика — это...

 — это как профилактика несварения будущих осложнений с усвоением: оптика и так замешана на головоломной геометрии, еще и в подаче материала для старшеклассников не предусмотрен щадящий режим: «отраженный и падающий лучи лежат в плоскости, содержащей перпендикуляр к отражающей поверхности в точке падения» —  сходу представили пересечение лучей и плоскостей?
Беда в том, что школьные пособия преследуют сразу две некогерентные цели (можно сказать, бегут за двумя зайцами): первое - приучить будущих абитуриентов к научному канцеляриту языку строгих определений и второе —  донести суть изучаемого процесса или явления. Объяснить новое-непонятное, на не до конца освоенном целевой аудиторией языке (страдающем от корявых двусмысленностей типа «поверхности в точке падения») — та еще задача.
Если повезет с хорошим преподавателем — в классе перескажут более простыми словами. Прослушал, пропустил — нагнать будет сложнее.
А еще — некоторые вещи недостаточно один раз разжевать, их нужно переварить, чтобы реально проникнуться, а просто вызубрить. Но, в девятом классе поздновато играть с отражением в лужице. Пропедевтика — это задел на будущее. 

Если площадка ровная — мяч при отскоке не возьмет в сторону. И точно так же отраженный луч не полетит в бок, а будет "распространяться в плоскости перпендикулярной отражающей поверхности"
Если площадка ровная — мяч при отскоке не возьмет в сторону. И точно так же отраженный луч не полетит в бок, а будет "распространяться в плоскости перпендикулярной отражающей поверхности"

Измеряем высоту здания "в бабушках"

Лужа тоже пригодится, но начнем с чего попроще.
Легче всего сфотографировать бабушку, стоящую рядом c домом, а потом по фото сопоставить высоту сооружения с бабушкиным ростом.
Или прямо на местности, тем же способом каким художники оценивают размерные соотношения предметов.
Это и малышу доступно.

А теперь немного на вырост, для тех, кто уже прокачал тригонометрию:

- Помните задачу из анекдота про менеджмент?
"Вот у вас есть барометр - как вы определите высоту небоскреба?" Правильный менеджер не заморачивался сбрасыванием девайса с крыши и прочим физтехом, а сгонял в управляющую компанию и в обмен на красивый приборчик получил нужную информацию. 

Геометрический способ еще быстрее - 

Если на одной прямой совмещены: глаз наблюдателя, верхушка барометра и вершина отдаленного объекта, то нужное значение вычисляем из подобия треугольников: высота барометра относится к высоте здания, как расстояние от наблюдателя до барометра, к расстоянию от наблюдателя до здания.

    С идеей подобия фигур не грех познакомить и дошкольника  (с  самим понятием, не обязательно в терминах планиметрии), но это тема другого рассказа. 

— А если рядом стать нельзя, предмет за ограждением, в недоступном месте? Соответственно и расстояние до него не измерить ни рулеткой, ни шагами?
— Есть способы и на такой случай. «Триангуляция» называется — сперва определяем расстояние до недоступного объекта. А потом и его высоту.

В презентациях на эту тему предлагают использовать если не теодолит, то рейки, шесты, рулетки, большой демонстрационный транспортир.
Обычно мы ничего подобного на прогулку  с собой не берем. Обойдемся подручными средствами. Лужа нам в помощь.

Как определить высоту столба по отражению

-  Выберем две точки, где видно отражение фонаря. Отметим их камешками.
-  Измерим (шагами, например) расстояние между отметками. 

Теперь у нас есть все, что нужно для расчетов.
— Зная сторону треугольника и прилегающие к ней углы, мы можем вычислить что угодно, касательно данного треугольника. Высоту в том числе, которую и представляет собой искомый столб (высота тупоугольного треугольника лежит за пределами его периметра)

Желательно прокачать с малышом тригонометрию («треугольнико-мерие») на предыдущей прогулке: без теорем и определений — «на ощупь», с помощью раздвижной модели. Чтобы на опыте убедиться, что, в частности, сторона и два угла при ней однозначно определяют фигуру — это у треугольника как паспорт, как отпечатки пальцев: размер стороны совпадает, углы такие же — значит это точно такой же треугольник

Если ребенок свойства треугольника представляет, но до сложных вычислений не дорос — достаточно объяснить качественно, а количественные расчеты провести на калькуляторе, инженерном или просто он-лайн:


— Но как же мы углы определим, без транспортира?

— Есть такие удобные углы, которые легко построить без специальных инструментов.
Диагональ квадрата образует 45 градусов с его основанием. Отойдем от нужной  точки на расстояние, равное собственному росту— вот и квадрат.
- Как мы отмерим расстояние, не ложась на землю (там ведь мокро)?
- Легко: размах рук равен собственному росту, бабушка вытягивает руки, а помощник замечает место, куда стать.

А если отступить от точки отражения на десять приставных шагов, то получим угол, приблизительно равный 30 градусам.
(на самом деле у прямоугольного треугольника с катетами 6 к 10 острый угол при основании равен 30.9°.
Длина ступни в классических пропорциях шесть раз укладывается в высоту человеческой фигуры. Проверьте. И подгоните под себя.)

Зная собственный рост и размер обуви, получим необходимые для расчета величины. 

Допустим: расстояние между двумя точками — 35 приставных шагов, размер ботинок 30 см => основание треугольника 30х35=1050 см. Углы при основании 180°-45°=135° и 30.9° (хотя десятичная точность является излишней, если уж мы меряем расстояния шагами). Забиваем данные в калькулятор и получаем высоту столба. 

— Осталась одна неувязка: глаз наблюдателя должен располагаться на уровне земли, чтобы оказаться на одной линии с вершиной столба. Не очень-то удобно...

Есть лучший путь:  — смотрим на отражение!
Угол падения.. нувыпоняли (равен углу отражения. А так же равны внутренние накрестлежащие при пересечении двух прямых третьей.)

Те же тридцать и сорок пять градусов можем визуализировать с помощью подручных предметов:

свернув лист бумаги на уголок и «фунтиком», в треть прямого угла.

Или так, как сворачивают бумагу для вырезания новогодних снежинок

 втрое и еще раз пополам
втрое и еще раз пополам

— Но к этому приспособлению придется еще и отвес приделать, чтобы держать ровненько, параллельно земле...
— Из какой-нибудь ниточки и камешка и отвес смастерить не долго. Но, можем обойтись и без него:
теперь бабушка смотрит поверх головы внука, совмещая его макушку с отражением фонаря, в первом случае внук отступает от отражения на высоту своего роста, а во втором на десять приставных шагов. 

— И как же подобрать такое место, где луч света от фонаря падает именно под углом в 45°, в 30°?
— Пользуясь тем же бумажным «угольником», находим примерное место, а потом уточняем, ориентируясь на макушку помощника (как картину вдвоем вещают — «чуть выше! чуть ниже!»). Способ требует некоторой «пристрелки», зато все «измерительные приборы» у нас всегда с собой :).
Измерение, конечно, будет лишь оценочным, но оно в любом случае приблизительное, с колышками и шестами тоже. Если провести несколько испытаний и взять среднее значение, результат станет точнее. 

— Но ведь придется в лужу заходить?
— Какой внук откажется !

Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →

Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic

Your reply will be screened

Your IP address will be recorded 

Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →