Rimon Lusi (fotovivo) wrote,
Rimon Lusi
fotovivo

Categories:

⋙⋘ Запишем уравнение ⋙⋘

Dirihle_30.jpg

В сети активно обсуждают свежую "детскую задачу" про попугаев в зоопарке


Dirihle_018.png

Догнавшие поясняют недоумевающим: составим неравенства!
Сложим вместе и получим, элементарно!

Dirihle_017.png

Через двадцать минут обсуждения собеседники обнаружили, что разговаривают на разных языках.
Не для каждого родителя "любые десять" эквивалентно "какие-угодно, случайно выхваченные". (Дети видимо тоже не в курсе, а то б подсказали). Скажем, вязальщица может представлять себе "любые десять петель" как отрезок на трикотажном полотне, а не петли вперемешку.
Авторы задания правы - так и записываются условия в логических задачах. Закавыка в том, что не всякий прошаренный помогайка догадывается "договориться о терминах" с чайниками.

Еще одна проблема объясняющих - сходу приступать к выкладкам; зачастую и сами бабушки, объясняя внукам, начинают с "составим уравнение".

Но, задачу сперва надо решить: т.е. догадаться, каким путем идти от известного к искомому, а потом уж изложить ход решения на формальном языке уравнений/неравенств.
Что делать, если у ребенка никаких догадок "на что задача" и как к ней подступиться?
- Разобрать текст. Изучить локацию, пути отступления, выяснить кто с кем / с чем в каких отношениях.
Иначе уравнения появляются, как кролик из шляпы (чего проще вытянуть ушастого из цилиндра! а поди повтори =)

Хорошее упражнение для бабушек, которым не знакомы принцип Дирихле, инварианты, теорвер (сейчас это задания "со звездочкой", в нашу эпоху и слов таких в программе не было; даже среди прочей технарской мат-физики комбинаторику проходили вскользь) - отличный повод почувствовать себе пятиклашкой и показать пример: как учиться тому, во что не врубаешься =).

Что выберете: Сходу сдаться - "я в этом ничего не понимаю", забросить листок с тестами подальше и поворчать "голову  детям забивают"? или Сделать покерфейс, втихаря изучить тему и изложить, как ни в чем не бывало, будто всегда это знали - нельзя-же-ронять-авторитет ? Или всё-таки гуглить не скрываясь и вместе продвигаться от простого к сложному?


Кст, что за зверь такой, Дирихле?
- Проще некуда: типа что в ящик на двадцать ячеек - двадцать одну бутылку не втиснешь, так чтоб в каждой ячейке было по одной.

Легко проиллюстрировать на подручном материале -

Dirihle_009.jpg


Пикабушники изобразили Дирихле в свойственной им манере  -

Dirihle_010.png


Кст, в оригинале второе название - "принцип голубиных ячеек" , исторически связано с почтовыми голубятнями.

Dirihle_011.JPG

Всего-то. Но задачи в разделе крышесносные.



Начнем "тянуть кота за хвост кролика из шляпы":
Двадцать зеленых попугаев не поместятся в условие "любой десяток - не без красного!". Так же во всем зоопарке не наберется даже двенадцати красных, ибо "всякая дюжина - не без желтого".

Над понятием "любая дюжина" возможно придется поработать:

Dirihle_020.png


Dirihle_020.png
"Любая/каждая" из выбранных случайным образом

(Заметим - это язык комбинаторики, логики, теории множеств. Но, иногда-банан-просто-банан. Очень может быть, что где-то в иной области, в том же трикотаже, десять петель - могут означать "любой отрезок из десяти петелек". К этому тоже нужно привыкнуть - каждой области знаний присущ специфический язык - особые слова, значения слов, особое понимание выражений. Лучше  как можно раньше принять это как данность)


Из попугав в этом зоопарке нельзя отобрать дюжину без единого желтого, десяток без единого красного.
Уже не бесконечность! Продвинулись.

Запишем это формулами:
Крас + Зел < 12
Жлт + Зел < 10

Можем примерно оценить, что красных с зелеными в зоопарке меньше дюжины (самое большее 11), а желтых с зелеными меньше десятка  (9 максимум). Где-то около 20 всего.


- А разве может быть "любая дюжина", если их там и два десятка не наберется?
- В комбинаторике может:

Dirihle_022.png


Так же как на вопрос "Сколько деталей в головоломке?" один ответ, а на  "Сколько треугольников на чертеже?" - другой:


Dirihle_024.png


Вернемся к попугаям:
систему неравенств так и тянет упростить, "выделить переменные в чистом виде":

Крас < 12 - Зел
Жлт < 10 - Зел

Тут уже обычная алгебра, хоть графики строй )
Но и без координатных осей понятно, что  зеленых хоть один да есть,

Крас < 12 - 1
Жлт < 10 -

значит красных самое большее 11, а желтых (при Зел=1) максимум 9.

Крас<11 - меньше 11, т.е максимум 10
Жлт < 9 - меньше 9, т.е максимум 8

Если зеленый один, то красных с желтыми не больше 18. Итого всех попугаев в зоопарке 19 максимум.
А из смысла неравенств очевидно следует, что если добавить еще зеленых, например, Зел =1+2, то число красных придется уменьшить на два, и число желтых уменьшить на два, итого "незеленых" станет меньше на 4.

Крас - 2 < 12 - 1 -2
Жлт - 2 < 10 - 1 -2 

Поэтому: 8 желтых, 10 красных, 1 зеленый - максимум.



Каким боком тут  Дирихле вообще?
- На этом принципе пятиклассников (а где-то у же и второклашек) учат пользоваться "доказательством от обратного": допустим, что в двенадцать ячеек поместилось таки двадцать восемь яиц. Но мы знаем, что каждая ячейка вмещает никак не более одного, 12 ячеек = 12 яиц. Противоречие. Значит - двадцать восемь поместиться не могло.

В текущей задаче тоже есть "дирихлеевский" элемент -  рассуждение типа "миллион более девяти зеленых попугаев не может поместится  в коробку с десятью ячейками, где уже сидит один красный попугай".


Dirihle_025.PNG

Школьник, натасканный на подобный "дискурс", должен справиться, но бабушке, у которой это первая олимпиада, сориентироваться труднее.

В наше время растили инженеров, упор делался на функциональный анализ, большое внимание уделяли зависимостям: "Сегодня Таня взяла зонтик, потому что за окном дождь, а в минувшие выходные надела панаму, потому что было жаркое солнце. Поведение Тани - функция от погоды в указанный момент времени".
А теперь готовят айтишников. Грузят логикой уже дошколят:


Dirihle_014.JPG

логика пересекающихся множеств


Dirihle_016.png

Таких книжечек туча. Цель - приучить к "шершавому языку" логических формулировок.


Хотя и функции никуда не делись, в них тоже нужно "врубиться" и желательно загодя.


Плюс общая "культура понимания задач" требует отработки:

Dirihle_015.JPG

- Кошка испугается! Перевернется-запутается!
Всё, ответ получен. А что, нет? Доказано несуществование решения при заданных условиях, мы ж логику одновременно с арифметикой прокачиваем.

Нынешним малышам потребуется уяснить, что (как в примере с треугольником) - нередко ответ зависит от того, из какого раздела задача.
Есть числа, вопрос "сколько" на обложке написано "Арифметика" - значит считаем.

Мы с детьми учились отбрасывать второстепенное и конвертировать всё в яблоки. - Забей на кошку и воздушный полёт, пусть это яблоки: судя по картинке пять штук уже есть, требуется двадцать, сколько не хватает?


На подступах к логике -

В комоде полный ящик носков. Белых и черных, вперемешку.
Не глядя запускаем руку в ящик и вытягиваем носок. Потом еще раз..
Сколько носков потребуется вытянуть, чтобы собрать пару?



догадавшись, что "остальные" - это 3/5
вычислить ответ проще:
Dirihle_012.JPG


Любят задачники попугаев )

Dirihle_013.JPG

Классика устного счета, никаких хитростей, кроме того, что нужна тренировка, чтобы удержать в представлении ворох условий (чем дальше, тем более развесистых). Рисуем на бумаге, приноравливаясь рисовать в уме.



Подробности для любопытных.
Один из математиков высказался в том духе, что если бы кто-то догадался присвоить имя собственное принципу "никакое четное число не равно никакому нечетному", то только он смог бы превзойти "голубиный принцип" по тривиальности и популярности.

Как вообще Дирихле дошел до жизни такой формализации  распределения голубей по ящикам?
Этот прием пригодился ему на пути к Теореме Ферма, которой редкий тогдашний математик не оскоромился.
Дирихле на пару с Лежандром в 1825 г. отметились доказательством для частного случая n=5


Примерчик не из младшей школы:

Dirihle_008.png


А ныне так и вообще, один из столпов:

Dirihle_006.JPG


Dirihle_005.JPG


Задачи для гурманов:

Dirihle_002.JPG


Dirihle_007.png



Онлайновый задачник с решениями:

[Spoiler (click to open)]
Dirihle_031.JPG

Dirihle_032.JPG

mccme.ru/free-books/pdf/kozlova.pdf
ippo-vm.at.ua/logika.pdf



И это тоже ныне школьный курс -

Dirihle_003.JPG

Полезно мозги поразмять чем-нибудь прежде не знакомым. Неврологи советуют.
Но - так чтоб расплавились и закипели, иначе не подействует.


"Утверждение «среди любых трех целых чисел найдутся два числа одной четности» кажется очевидным, также как и утверждение «среди 13 человек найдутся двое, родившиеся в один месяц». И то, и другое можно обосновать разбором случаев.   Но более грамотным будет построить рассуждение от противного. Для второго утверждения это будет выглядеть так:
«Предположим, что не найдется двух таких человек. Тогда в каждый из 12 месяцев родилось не более одного человека. Значит, имеется всего не более 12 человек, что противоречит условию задачи: 12 < 13.»

Такие рассуждения очень часто встречаются при решении задач, поэтому их выделили в отдельное утверждение, называемое принципом Дирихле. Классическая формулировка звучит так: « Если (n + 1) кроликов сидят в n ящиках, то найдётся ящик, в котором сидит, по крайней мере, два кролика». Доказательство этого утверждения также строится от противного: «Предположим, что в каждом ящике сидит менее двух кроликов (один или ни одного). Тогда во всех n ящиках в совокупности сидит не более n кроликов. Противоречие.»

Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору «кроликов» и «клеток». Иногда не совсем очевидно, кто в данной задаче является «кроликом», и что служит «клеткой»."



И немного истории:

"В 1869 году Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле показав на примере, что минимум ограниченного снизу функционала может не достигаться в выбранном классе функций. Тем самым он поставил под сомнение все основанные на принципе Дирихле выводы в первую очередь важные результаты Римана в теории функций комплексного переменного и теории абелевых интегралов.
В начале 70-х годов для доказательств существования решений краевых задач были разработаны другие методы, например, "альтернирующий" метод Шварца, метод "средних арифметических" Неймана.
Казалось, судьба принципа Дирихле была предрешена - остаться лишь неким фактом истории математики.

Поэтому столь неожиданным было появление на рубеже XIX и XX веков работ Арцела  и Гильберта  по обоснованиям принципа Дирихле, правда полное и строгое доказательство удалось дать лишь Гильберту.
С современной точки зрения, существование экстремума в вариационных задачах они выводили (причем, независимо друг от друга) из следующего принципа компактности: полунепрерывная снизу функция на компакте, достигает своего минимума. Что можно сказать об истории возникновения этих понятий функционального анализа."


Господитвояволя.. конец восемнадцатого века. Последующие сто с лихом лет математика тоже отнюдь не стояла на месте. Это ж сколько всего учить, чтоб оказаться на уровне? Потому и грузят смалку.


Задача
Первоклассник Петя знает только цифру 1.
Доказать, что он может написать число, делящееся на 1997.


На пробу пусть будет 19, а не 1997
Так и хочется извернуться с привычным: 

Число из единиц типа 1111111 представимо в виде 1+10^1+10^2+10^3+...
Т.е. это функция y=10^x+1 , а "остаток от деления на девятнадцать" в операторах он-лайн графопостроителя обозначается как mod19
Ну вот: график пересекает ось ординат в определенной точке, где остаток от деления равен нулю, значит решение существует, что и требовалось...

Dirihle_001.JPG

- синусы мы же не вручную вычисляем, почему бы не задать функцию с операцией "взятие остатка" ?
(не знаю, правильно ли посчитала, но мне интуиция подсказывает, что и для 1997 искомое решение существует ))

Но нужно не так, а по вот по такому алгоритму:


Dirihle_004.JPG


Попугаи - это еще цветочки ))


Tags: #какпомочьребенкупоматематике, #летнийуниверситетдлябабушек, #назасыпку, матан
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 58 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →